روش اولیۀ تفریق که دانشمندان مسلمان استفاده می‌کردند، مدت زیادی دوام نیاورد، آنان به روش جدیدی دست یافتند که در آن عدد کاسته‌شده در زیر عدد اصلی قرار می‌گرفت و سپس باقی‌مانده یادداشت می‌شد، این همان روشی است که امروزه نیز در محاسبات ریاضی به کار می‌رود.
نوآوری دانشمندان مسلمان در ضرب و تقسیم
دانشمندان عرب و مسلمان روش‌های گوناگونی برای ضرب ابداع کردند، ازجمله، روش «شبکه‌ای» که به دلیل سادگی و منطق قوی آن، مورد توجه قرار گرفت، برخی از متخصصان آموزش ریاضیات امروزی توصیه می‌کنند که این روش در مدارس ابتدایی به کار گرفته شود.
آن‌ها هم‌چنین روش‌های مختلفی برای تقسیم پیشنهاد کردند تا سرانجام به روشی مشابه با روش تقسیم امروزی دست یافتند. لئوناردو فیبوناچی، ریاضی‌دان معروف اهل پیزا (از دانشمندان برجستۀ حساب در قرن هفتم هجری)، اعتراف کرد که روش تقسیم را برای اولین‌بار از استادان مسلمان خود در «سیسیل» آموخته است، وی هم‌چنین به برتری ریاضی دانشمندان مسلمان در این زمینه اذعان داشت و آن را نشانه‌ای از تجربۀ بالای آن‌ها در علم حساب می‌دانست.
تقسیم‌بندی اعداد و آثار ابوالوفا بوزجانی
دانشمندان مسلمان، اعداد را به دو گروه اصلی تقسیم کردند:
اعداد زوج: اعدادی که بر ۲ بخش‌پذیر هستند و به‌صورت ۲ن (که ن عددی صحیح است) نمایش داده می‌شوند.
اعداد فرد: اعدادی که بر ۲ بخش‌پذیر نیستند.
ابوالوفا بوزجانی ۳۲۸-۳۸۸ هجری/۹۴۰-۹۹۸ میلادی آثار متعددی در علم حساب تألیف کرد. از جمله:
«المدخل الحفظی إلى صناعة الأرثماطيقي» (مدخلی آموزشی برای علم حساب)
«فيما ينبغي أن يحفظ قبل الأرثماطيقي» (مطالبی که باید پیش از حساب دانسته شوند)
او در این کتاب‌ها بر مفاهیم دقیق حساب تمرکز داشت و تلاش کرد که مبانی ریاضی را با دقت بیشتری آموزش دهد.[1]
تعریف دقیق اعداد و بررسی آن‌ها توسط دانشمندان مسلمان
ابوالوفا بوزجانی دربارۀ اعداد کامل، زائد و ناقص به شیوه‌ای دقیق و ریاضی‌وار سخن گفت؛ اما ابن البناء المراکشی ۶۵۴-۷۳۱ هجری/۱۲۵۶-۱۳۲۱ میلادی این تعاریف را به‌صورت رسمی تنظیم کرد و چنین بیان نمود:
عدد ۶ یک عدد کامل است؛ زیرا مجموع مقسوم‌علیه‌های آن (۱، ۲ و ۳) برابر با خود عدد ۶ است.
عدد ۱۲ یک عدد زائد است؛ زیرا مجموع مقسوم‌علیه‌های آن (۱، ۲، ۳، ۴ و ۶) برابر با ۱۶ می‌شود که از خود عدد بزرگ‌تر است.
عدد ۸ یک عدد ناقص است؛ زیرا مجموع مقسوم‌علیه‌های آن (۱، ۲ و ۴) برابر با ۷ است که از خود عدد کوچک‌تر است.[2]
کشف اعداد متحاب توسط ثابت بن قره
ثابت بن قره حرانی صابئی ۲۲۱-۲۸۸ هجری/۸۲۶-۹۰۱ میلادی اعداد «متحاب» را تعریف کرد. دو عدد متحاب به این صورت تعریف می‌شوند که مجموع مقسوم‌علیه‌های عدد اول برابر با عدد دوم باشد و مجموع مقسوم‌علیه‌های عدد دوم برابر با عدد اول باشد.
به‌عنوان نمونه:
۲۲۰ و ۲۸۴ یک جفت عدد متحاب هستند؛ زیرا:
مقسوم‌علیه‌های عدد ۲۲۰ (۱، ۲، ۴، ۵، ۱۰، ۱۱، ۲۰، ۲۲، ۴۴، ۵۵، ۱۱۰) با هم جمع شده و حاصل ۲۸۴ می‌شود.
مقسوم‌علیه‌های عدد ۲۸۴ (۱، ۲، ۴، ۷، ۱۴، ۲۸، ۵۷، ۸۴، ۱۴۲) با هم جمع شده و حاصل ۲۲۰ می‌شود.[3]
تحقیقات دانشمندان مسلمان دربارۀ نسبت‌ها و دنباله‌ها
دانشمندان عرب و مسلمان هم‌چنین نظریۀ «نسبت‌ها» و «دنباله‌ها» را بررسی کرده و آن‌ها را به سه نوع اصلی تقسیم کردند:
دنباله‌های عددی (حسابی): در این دنباله، اختلاف بین هر دو جملۀ متوالی ثابت است.
دنباله‌های هندسی: در این دنباله، هر جمله نسبت به جملۀ قبل، در عددی ثابت ضرب می‌شود.
دنباله‌های توافقی: این نوع دنباله را برای استخراج و تنظیم الگوهای موسیقایی و ساخت ملودی‌ها به کار می‌بردند.
دانشمندان مسلمان قوانین ویژه‌ای برای جمع دنباله‌ها ابداع کردند، آن‌ها هم‌چنین قواعدی ریاضی برای استخراج جذر مربع هر عدد و جذر مکعب هر عدد تدوین کرده و درستی این روش‌ها را اثبات کردند. این مطالعات نتایج مهمی در علوم حساب و جبر به همراه داشت.
به‌طور خلاصه، دانشمندان عرب و مسلمان نه‌تنها اطلاعات ریاضی را که از تمدن‌های پیشین به آن‌ها رسیده بود توسعه دادند؛ بلکه افزوده‌های جدیدی نیز ارائه کردند، این تلاش‌ها برخاسته از تمایل والای آن‌ها به گسترش دانش در میان ملت اسلامی و درک اسرار جهان بود.
ازآنجاکه علم حساب نقشی مستقیم در زندگی روزمرۀ مردم دارد، توسعۀ آن اهمیت زیادی داشت، زیرا تمامی معاملات تجاری روزانه کاملاً به آن وابسته‌اند.[4]
